高中数学易错题
数学概念的理解不透
必修一(1)若不等式ax+x+a<0的解集为 Φ,则实数a的取值范围()
A.a≤-或a≥B.a<C.-≤a≤D.a≥
【错解】选A.由题意,方程ax+x+a=0的根的判别式a≤-或a≥,所以选A.
【正确解析】D .不等式ax+x+a<0的解集为 Φ,若a=0,则不等式为x<0解集不合已知条件,则a;要不等式ax+x+a<0的解集为 Φ,则需二次函数y=ax+x+a的开口向上且与x轴无交点,所以a>0且.
必修一(2)判断函数f(x)=(x-1)的奇偶性为____________________
【错解】偶函数.f(x)=,所以,所以f(x)为偶函数.
【正解】非奇非偶函数.y=f(x)的定义域为:,定义域不关于原点对称,所以此函数为非奇非偶函数.
必修二(4),,是空间三条不同的直线,则下列命题正确的是()
(A),(B),
(C),,共面 (D),,共点,,共面
【错解】错解一:选A.根据垂直的传递性命题A正确;
错解二:选C.平行就共面;
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【正确解答】选B.命题A中两直线还有异面或者相交的位置关系;命题C中这三条直线可以是三棱柱的三条棱,因此它们不一定共面;命题D中的三条线可以构成三个两两相交的平面,所以它们不一定共面.
必修五(5)x=是a、x、b成等比数列的()
A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分又非必要条件
【错解】C.当.x=时,a、x、b成等比数列成立;当a、x、b成等比数列时,x=成立.
【正确解析】选D.若x=a=0,x=成立,但a、x、b不成等比数列,所以充分性不成立;反之,若a、x、b成等比数列,则,所以x=不一定成立,必要性不成立.所以选D.
排列组合(6)(1)把三枚硬币一起掷出,求出现两枚正面向上,一枚反面向上的概率.
分析:
(1)【错解】三枚硬币掷出所有可能结果有2×2×2=8种,而出现两正一反是一种结果,故所求概率P=
【正解】在所有的8种结果中,两正一反并不是一种结果,而是有三种结果:正、正、反,正、反、正,反、正、正,因此所求概率上述错解在于对于等可能性事件的概念理解不清,所有8种结果的出现是等可能性的,如果把上述三种结果看作一种结果就不是等可能性事件了,应用求概率的基本公式自然就是错误的.
公式理解与记忆不准
(7)若,则的最小值为___________.
【错解】,错解原因是忽略等号成立条件.
【正解】=
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(8)函数y=sin4x+cos4x-的相位____________,初相为__________ .周期为_________,单调递增区间为____________.
【错解】化简y=sin4x+cos4x-=,所以相位为4x,初相为0,周期为,增区间为….
【正确解析】y=sin4x+cos4x-=.相位为,初相为,周期为,单调递增区间为.
审题不严
(1)读题不清
必修五(9)已知是R上的奇函数,且当时,,则的反函数的图像大致是
【错解】选B.因为在内递减,且过点(0,2),所以选B.
【正确解答】A.根据函数与其反函数的性质,原函数的定义域与值域同其反函数的值域、定义域相同.当,所以选A.或者首先由原函数过点(0,2),则其反函数过点(2,0),排除B、C;又根据原函数在时递减,所以选A.
排列组合
(10)一箱磁带最多有一盒次品.每箱装25盒磁带,而生产过程产生次品磁带的概率是0.01.则一箱磁带最多有一盒次品的概率是.
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【错解】一箱磁带有一盒次品的概率,一箱磁带中无次品的概率,所以一箱磁带最多有一盒次品的概率是+.
【正确解析】一箱磁带有一盒次品的概率,一箱磁带中无次品的概率,所以一箱磁带最多有一盒次品的概率是+.
(2)忽视隐含条件
必修一(11)设是方程的两个实根,则的最小值是()
【错解】利用一元二次方程根与系数的关系易得:
选A.
【正确解析】利用一元二次方程根与系数的关系易得:
原方程有两个实根,∴
当时,的最小值是8;
当时,的最小值是18.选B.
必修一(12)已知(x+2)2+=1,求x2+y2的取值范围.
【错解】由已知得y2=-4x2-16x-12,因此x2+y2=-3x2-16x-12=-3(x+)2+,
∴当x=-时,x2+y2有最大值,即x2+y2的取值范围是(-∞,].
【正确解析】由已知得y2=-4x2-16x-12,因此x2+y2=-3x2-16x-12=-3(x+)2+
由于(x+2)2+=1(x+2)2=1-≤1-3≤x≤-1,
从而当x=-1时x2+y2有最小值1.∴x2+y2的取值范围是[1,].(此题也可以利用三角函数和的平方等于一进行求解)
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必修一13方程的解集为___________________-
【错解】
或所以x=1或x=2.所以解集为{1,2}.
【正解】
所以解集为{2}.
字母意义含混不清
(14)若双曲线的离心率为,则两条渐近线的方程为()
A.B.C.D.
【错解】选D.
,选D.
【正确解析】,与标准方程中字母a,b互换了.选C.
4.运算错误
(1)数字与代数式运算出错
若,且(),则实数的值为____________.
【错解】,则().
【正确解析】,()
必修二18.已知直线与点A(3,3)和B(5,2)的距离相等,且过二直线:3x-y-1=0和
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:x+y-3=0的交点,则直线的方程为_______________________
【错解】先联立两直线求出它们交点为(1,2),设所求直线的点斜式,再利用A、B到它的距离相等建立方程得,所以所求直线为x+2y-5=0.
【正确解析】x-6y+11=0或x+2y-5=0.联立直线:3x-y-1=0和:x+y-3=0的方程得它们的交点坐标为(1,2),令过点(1,2)的直线为:y-2=k(x-1)(由图形可看出直线的斜率必然存在),由点到直线的距离公式得:,所以直线的方程为:x-6y+11=0或x+2y-5=0.
(2)运算方法(如公式、运算程序或运算方向等)选择不当导致运算繁杂或不可能得解而出错
必修二19.已知圆(x-3)2+y2=4和直线y=mx的交点分别为P,Q两点,O为坐标原点,则的值为.
【运算繁杂的解法】联立直线方程y=mx与圆的方程(x-3)2+y2=4消y,得关于x的方程,令,则,则,由于向量与向量共线且方向相同,即它们的夹角为0,所以.
【正确解析】根据圆的切割线定理,设过点O的圆的切线为OT(切点为T),由勾股定理,则.
(3)忽视数学运算的精确性,凭经验猜想得结果而出错
曲线x2-的右焦点作直线交双曲线于A、B两点,且,则这样的直线有___________条.
【错解】4条.过右焦点的直线,与双曲线右支交于A、B时,满足条件的有上、下各一条(关于x轴对称);与双曲线的左、右分别两交于A、B两点,满足条件的有上、下各
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一条(关于x轴对称),所以共4条.
【正解】过右焦点且与X轴垂直的弦AB(即通径)为,所以过右焦点的直线,与双曲线右支交于A、B时,满足条件的仅一条;与双曲线的左、右分别两交于A、B两点,满足条件的有上、下各一条(关于x轴对称),所以共3条.
5.数学思维不严谨
(1)数学公式或结论的条件不充分
24.已知两正数x,y满足x+y=1,则z=的最小值为.
【错解一】因为对a>0,恒有,从而z=4,所以z的最小值是4.
【错解二】,所以z的最小值是.
【正解】z===,令t=xy,则,由在上单调递减,故当t=时有最小值,所以当时z有最小值.
(2)以偏概全,重视一般性而忽视特殊情况
必修一(1)不等式|x+1|(2x-1)≥0的解集为____________
解析:(1)【错解】.因为|x+1|0恒成立,所以原不等式转化为2x-10,所以
【正确解析】.原不等式等价于|x+1|=0或2x-10,所以解集为.
必修一(2)函数的定义域为.
(2)【错解】或.
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【正解】
(3)解题时忽视等价性变形导致出错
27.已知数列的前项和,求
【错解】
【正确解析】当时,,n时,
.所以.
选修实数为何值时,圆与抛物线有两个公共点.
【错解】 将圆与抛物线联立,消去,
得①
因为有两个公共点,所以方程①有两个相等正根,得, 解之得
【正确解析】要使圆与抛物线有两个交点的充要条件是方程①有一正根、一负根;或有两个相等正根.当方程①有一正根、一负根时,得解之,得
因此,当或时,圆与抛物线有两个公共点.
(1)设等比数列的全项和为.若,求数列的公比.
【错解】,
.
【正确解析】若,则有但,即得与题设矛盾,
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故.
又依题意,即因为,所以所以解得
空间识图不准
必修二直二面角α--β的棱上有一点A,在平面α、β内各有一条射线AB,AC与成450,AB,则∠BAC=.
【错解】如右图.由最小角定理,.
【正确解析】或.如下图.当时,由最小角定理,;当AC在另一边DA位置时,.