21、超强定理
(a+b+c)n的展开式[合并之后]的项数为:Cn+22,n+2在下,2在上
22、转化思想
切线长l=√(d-r)d表示圆外一点到圆心得距离,r为圆半径,而d最小为圆心到直线的距离。
23、对于y=2px
过焦点的互相垂直的两弦AB、CD,它们的和最小为8p。
爆强定理的证明:对于y=2px,设过焦点的弦倾斜角为A
那么弦长可表示为2p/〔(sinA)〕,所以与之垂直的弦长为2p/[(cosA)]
所以求和再据三角知识可知。
(题目的意思就是弦AB过焦点,CD过焦点,且AB垂直于CD)
24、关于一个重要绝对值不等式的介绍爆强
∣|a|-|b|∣≤∣a±b∣≤∣a∣+∣b∣
25、关于解决证明含ln的不等式的一种思路
ln(n+1)
把左边看成是1/n求和,右边看成是Sn。
解:令an=1/n,令Sn=ln(n+1),则bn=ln(n+1)-lnn,
bn即可,根据定积分知识画出y=1/x的图。
ln2。
注:仅供有能力的童鞋参考!!另外对于这种方法可以推广,就是把左边、右边看成是数列求和,证面积大小即可。说明:前提是含ln。
26、爆强简洁公式
向量a在向量b上的射影是:〔向量a×向量b的数量积〕/[向量b的模]。
记忆方法:在哪投影除以哪个的模
27、说明一个易错点
若f(x+a)[a任意]为奇函数,那么得到的结论是f(x+a)=-f(-x+a)〔等式右边不是-f(-x-a)〕
同理如果f(x+a)为偶函数,可得f(x+a)=f(-x+a) 牢记
28、离心率爆强公式
e=sinA/(sinM+sinN)
注:P为椭圆上一点,其中A为角F1PF2,两腰角为M,N
29、椭圆的参数方程也是一个很好的东西,它可以解决一些最值问题。
比如x/4+y=1求z=x+y的最值。
解:令x=2cosay=sina再利用三角有界即可。比你去=0不知道快多少倍!
30、仅供有能力的同学参考的爆强公式
和差化积
sinθ+sinφ=2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2]sinθ-sinφ=2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2]cosθ+cosφ=2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2]cosθ-cosφ=-2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2]
积化和差
sinαsinβ=[cos(α-β)-cos(α+β)]/2cosαcosβ=[cos(α+β)+cos(α-β)]/2sinαcosβ=[sin(α+β)+sin(α-β)]/2cosαsinβ=[sin(α+β)-sin(α-β)]/2
31、强定理
直观图的面积是原图的√2/4倍。
32、 三角形垂心爆强定理
(1)向量OH=向量OA+向量OB+向量OC(O为三角形外心,H为垂心)
(2)若三角形的三个顶点都在函数y=1/x的图象上,则它的垂心也在这个函数图象上。
33、维维安尼定理
正三角形内(或边界上)任一点到三边的距离之和为定值,这定值等于该三角形的高。
34、强思路
如果出现两根之积x1x2=m,两根之和x1+x2=n
我们应当形成一种思路,那就是返回去构造一个二次函数
再利用△大于等于0,可以得到m、n范围。
35、常用结论
过(2p,0)的直线交抛物线y=2px于A、B两点。
O为原点,连接AO.BO。必有角AOB=90度
36、强公式
-1)该式能有效解决不等式的证明问题。
举例说明:ln(1/(2)+1)+ln(1/(3)+1)+…+ln(1/(n)+1)<1(n≥2)
证明如下:令x=1/(n),根据ln(x+1)≤x有左右累和右边
再放缩得:左和<1-1/n<1证毕!
37、 函数y=(sinx)/x是偶函数
在(0,派)上它单调递减,(-派,0)上单调递增。
利用上述性质可以比较大小。
38、函数
y=(lnx)/x在(0,e)上单调递增,在(e,+无穷)上单调递减。
另外y=x(1/x)与该函数的单调性一致。
39、几个数学易错点
(1)f`(x)<0是函数在定义域内单调递减的充分不必要条件
(2)研究函数奇偶性时,忽略最开始的也是最重要的一步:考虑定义域是否关于原点对称
(3)不等式的运用过程中,千万要考虑"="号是否取到
(4)研究数列问题不考虑分项,就是说有时第一项并不符合通项公式,所以应当极度注意:数列问题一定要考虑是否需要分项!
40、一个美妙的公式
已知三角形中AB=a,AC=b,O为三角形的外心,
则向量AO×向量BC(即数量积)=(1/2)[b-a]
证明:过O作BC垂线,转化到已知边上